बहुपद $3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित कीजिए।

(D) बहुपद $p(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(3x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $3x^{3}$ प्राप्त होता है।
$2$. $3x^{3}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $3x^{4} - 3x^{3}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-x^{3} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $-x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x^{2}$ प्राप्त होता है। $-x^{2}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{3} + x^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-x^{2} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x$ प्राप्त होता है। $-x$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{2} + x$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-4x - 1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है। $-4$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-4x + 4$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-5$ प्राप्त होता है।
भागफल $3x^{3} - x^{2} - x - 4$ है और शेषफल $-5$ है।
वैकल्पिक रूप से,शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$x - 1$ का शून्यक $1$ है। $p(x)$ में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} - 3(1) - 1$
$p(1) = 3 - 4 - 3 - 1 = -5$.
अतः,शेषफल $-5$ है।